В научно-популярных материалах много путаницы относительно масштаба Планка. Это отражает основную проблему поп-физики: от дилетанта к дилетанту, суть вопроса с каждым разом становится недействительной. Это выглядит примерно так:
Комплексные числа для чайников
На этом уроке мы познакомимся с понятием комплексных чисел и рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и экспоненциальную формы комплексных чисел. Мы также научимся работать с комплексными числами: складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень.
Не волнуйтесь, если я вас напугаю, я вас рассмешу. Изучение комплексных чисел не требует специальных знаний высшей математики, а материал доступен даже детям школьного возраста. Все, что вам нужно, — это умение выполнять основные алгебраические операции с «обычными» числами и немного разбираться в тригонометрии. Однако если вы что-то забудете, я напомню вам.
Курс состоит из следующих разделов:
- понятие комплексных чисел,
- алгебраическая форма комплексного числа, затем сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел,
- тригонометрическую и экспоненциальную форму комплексного числа,
- умножение комплексных чисел, формула Муавра,
- извлечение корней из комплексных чисел; квадратное уравнение с комплексными корнями.
На любой вкус и цвет — кому что интересно. А комплексные числа становятся популярной темой после того, как студенты изучают другие разделы высшей алгебры =). Если вы глупы или только начинаете изучать комплексные числа, лучше всего читать разделы по порядку, не «пропуская» их.
Давайте сначала «соберем» информацию об «общих» номерах школ. В математике их называют множествами действительных чисел и присваивают им букву (в литературе заглавная буква «эр» пишется в рукописях полужирным шрифтом или сокращенно). Все действительные числа лежат на известной числовой прямой:
Общество действительных чисел очень неоднородно — в нем есть целые, дробные и иррациональные числа. Каждой точке на числовой прямой обязательно соответствует вещественное число.
Понятие комплексного числа
Прежде чем мы перейдем к комплексным числам, я хотел бы дать вам несколько советов: Не пытайтесь представить комплексные числа «в реальной жизни», это все равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.
Если хотите, комплексное число — это двумерное число. Она имеет вид, где и — действительные числа, — так называемая мнимая единица. Число — это действительная часть () комплексного числа, цифра — это мнимая часть () комплексного числа.
— это число UNIT, а не сложение. Действительная и мнимая части комплексного числа в принципе могут быть переставлены: или мнимая единица может быть переставлена: — комплексное число от этого не меняется. Однако обычно комплексные числа записывают именно в таком порядке:
Чтобы было понятнее, я приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа представлены в комплексной плоскости:
Как упоминалось ранее, буква используется для обозначения множества действительных чисел. Но набор комплексных чисел обычно обозначается жирной или толстой буквой. Поэтому на рисунке мы должны использовать букву, чтобы обозначить тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость имеет две оси: -ось — мнимая ось.
Правила построения почти такие же, как и для декартовой системы (см. Графики и свойства элементарных функций). Оси должны быть масштабированы, обратите внимание:
один на реальной оси,
мнимая единица на мнимой оси.
Нет необходимости вводить все значения: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… и .
Что в этом такого, давайте посмотрим на десять цифр.
Постройте следующие комплексные числа в комплексной плоскости:, ,, ,, ,, ,, ,
Я думаю, что принцип обозначения чисел на комплексной плоскости очевиден: комплексные числа обозначаются так же, как в геометрии 5-6 класса.
Рассмотрим следующие комплексные числа: Вы скажете: это всего лишь реальные цифры! Вы были бы почти правы. Вещественные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось — это просто множество действительных чисел, т.е. все наши «простые числа» помещаются на оси. В более узком смысле это утверждение можно сформулировать следующим образом: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.
Числа, ,, , являются комплексными числами с нулевой мнимой частью.
Числа, ,, ,, с другой стороны, являются чисто мнимыми числами, т.е. числами с нулевой действительной частью. Они лежат точно на воображаемой оси.
Числа, ,, ,, ,, а также действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа также представляются точками в комплексной плоскости, но обычно принято рисовать векторы с радиусом, проведенным к ним из начала координат (отмечено красным на рисунке). Радиус-векторы к числам на осях обычно не рисуются, поскольку они сливаются с осями.
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Мы уже знакомы с алгебраической формой комплексного числа. Почему мы говорим о форме? Потому что существуют также тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексных чисел, о которых мы поговорим в следующем разделе.
Операции с комплексными числами не очень сложны и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Сложите два комплексных числа,
Чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительную и мнимую части:
Просто, не так ли? Сюжет настолько очевиден, что дальнейшие комментарии излишни.
Сложение любого количества слагаемых выполняется просто: складываются действительные части и мнимые части.
Для комплексных чисел действует правило первого порядка: -сумма не меняется при перестановке слагаемых.
Вычитание комплексных чисел
Найдите разность между комплексными числами и, если ,
Операция аналогична сложению, с той лишь разницей, что подтермин должен быть заключен в круглые скобки, а затем формальный подтермин должен быть открыт путем изменения знака:
Результат не должен сбивать с толку, потому что полученное число состоит из двух частей, а не из трех. Просто фактическая часть сложная: Для ясности ответ можно перефразировать так: .
Вычислите вторую разницу:
Опять же, реальная часть сложна:
Чтобы избежать недоразумений, приведу небольшой пример с «плохой» мнимой частью: здесь без скобок не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Теперь пришло время представить знаменитое равенство:
Найдите произведение комплексных чисел,
Очевидно, что продукт должен быть записан следующим образом:
Что это такое? Нам нужно раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Это то, что вы должны сделать! Все алгебраические операции вам знакомы, главное — запомнить их и быть внимательным.
Повторим, омг, школьное правило умножения многочленов: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена.
Я объясню это подробно:
Надеюсь, это было понятно всем.
Осторожно, и еще раз осторожно, самая распространенная ошибка — это сигналы.
Как и сумма, произведение комплексных чисел также является перестановкой, т.е. выполняется равенство: .
Специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел легко найти в учебниках и во Всемирной паутине. Вы можете использовать его, если хотите, но мне кажется, что подход с умножением полиномов более универсален и понятен. Я не буду приводить формулу, я думаю, что в данном случае это опилки.
Деление комплексных чисел
Учитывая комплексные числа ,. Найдите коэффициент .
Разделите числа, умножив знаменатель и числитель на выражение, связанное со знаменателем.
Вспомните формулу бороды и посмотрите на нас Знаменатель:. В знаменателе уже написано, поэтому сопряженное выражение в данном случае равно, т.е.
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на, а чтобы он оставался постоянным, умножьте числитель на то же число:
Не волнуйтесь, если я вас напугаю, я вас рассмешу. Изучение комплексных чисел не требует специальных знаний высшей математики, а материал доступен даже детям школьного возраста. Все, что вам нужно, — это умение выполнять основные алгебраические операции с «обычными» числами и немного разбираться в тригонометрии. Однако если вы что-то забудете, я напомню вам.
Что такое число Пи
С этим понятием учащиеся знакомятся уже в 3 классе, когда начинают изучать круг (что это такое?).
Им просто говорят, что для каждого нарисованного круга, если разделить его длину на диаметр, получится одно и то же число. Это число называется «p», обозначается латинской буквой «p» и равно 3,14.
Это, кстати, официальное определение числа «пи»:
Пи — это математическая константа (постоянная), равная отношению длины окружности к ее диаметру.
Однако в 6 классе учащиеся лучше знакомы с этим числом. Затем они изучают формулы для длины и площади круга. И они не могут обойтись без «пи»:
История возникновения числа «пи»
Ученые считают, что люди знали о существовании математической константы еще в Древнем Египте. Этот вывод был сделан на основе папируса, на котором были записаны вычисления площади круга. И там было число, равное 3 160.
Но такое же количество пи есть и в других странах:
- В древнеиндийских документах шестого века до нашей эры есть упоминание о том, что «π» равен квадратному корню из 10, что составляет примерно 3 162,
- Архимед в Древней Греции (III век до н.э.) писал, что отношение длины окружности к ее диаметру находится между дробями 3 1/7 и 3 10/71, а это равно 3,141592,
- Китайский математик Цзу Чунчжи вычислил точно такое же число, но с более точными цифрами до 7.
- Британский математик Уильям Джонс впервые ввел название «p» в 1706 году.
Эта греческая буква не случайна: она первая в словах «периферия» (окружность) и «периметр» (окружность).
Общепринятая концепция «математической константы» окончательно возобладала в 1737 году после публикации научного труда Леонардо Ойлера.
Чему равно число Пи
Число десятичных знаков числа Пи бесконечно.
Ни один компьютер (что это вообще такое?) еще не смог вычислить его до конца. Самый современный калькулятор может отображать только 10 триллионов цифр.
И самое удивительное, что при таком огромном количестве цифр нет ни корреляции, ни тенденции. Математики любят делить десятичные числа на группы по 10 цифр. Среди этих групп невозможно найти две одинаковые цифры числа «пи».
На следующем рисунке показано значение π с точностью до 1000 знаков после запятой:
